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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 Rhgq2.mT  
::m%j  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. `B;bXwE|@  
t/D_W  
　　1、三角函数本质： 3J7Y\H<i}Z  
Bt!ca=$+  
　　三角函数的本质来源于定义 5lKw7d>  
 \F'dG  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 Tqb=4 nV;f  
]q\.&X^_n  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 0",FJY]D  
]n BtrS|  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 6)vrqVmet1  
y>5sTo| v  
　　推导： f!"AN/:tA  
8;%P-$b  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 -P+3 "xb  
`!#/BYLt  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) IWiy0aH+<  
C;W)uqG+  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ui=V~0a  
P1 tHHQ{P  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 "}.F`-/qM  
*:*T4Fn|7  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） K8 'KB*  
K3s~_p4^  
　　[1] |[\U-W}  
=B&"[. Y  
　　两角和公式 &IVM=ug  
8hUlclp9  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB $8wfA-JBo  
2&]:2Gz  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  )(To1/_FW  
v7kOhL9\  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB E\xZc(+Q/  
VkKisOBJ  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~W">U ^  
j~Z#HDy#  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 8MnuVjAzZ  
zd:v^}  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) m'gz+.R  
+ks\ybPd  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  :yTcK\18  
4@G_WA7  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) '^)h_0_(  
/|gsL,~a  
倍角公式 C>k0(  
<tEDn$bUN3  
　　Sin2A=2SinA•CosA rN&[3ez  
]B NfQw*?  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 >6=h;  
]`B3ga"m6  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ^z"p~  
Eh6|20|6  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） KXNq:  
KB?sob"o'  
三倍角公式 2EdEo'hw  
%hqh}%zo  
　　 8wurm'(  
 Hmr%  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) X:~zrZA  
'gi<Nt2H)  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) o%<tha^ 0  
Q% F-gIO6  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 6D8 YNU  
.7F9vHN  
三倍角公式推导 -I<i60'0W  
93 cC!#`  
　　sin3a +lOWFBmu  
M5b}\my/~  
　　=sin(2a+a) dZIx7\H  
sxz{?< v  
　　=sin2acosa+cos2asina C:w_&1M3u  
lvRw$)m  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina u.K$r |Z  
^|U58#y|TF  
　　=3sina-4sin³a jz^~qJ23  
+ @9h&  
　　cos3a #VlU:Xo9  
*}}.[[ N  
　　=cos(2a+a) |_$%Hl  
HTNL%  
　　=cos2acosa-sin2asina 9(BP *Gs  
MH !*vD  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa PHT_q<  
m$C=?S  
　　=4cos³a-3cosa H#kkpo  
"IQ=g$?  
　　sin3a=3sina-4sin³a J \_`qx  
Lll nuD&Y  
　　=4sina(3/4-sin²a) B=g$e^@K  
90WSec/1%$  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] @J tR |{  
qrq&Pdu  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) |k! h)d3  
[b/zjf#r  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) i ]g\Yw`P  
*Qon9XzP"  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] k`(^2Mb  
`j6a_r }Q  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) NWw P||u  
'@i;Q>Xz4  
　　cos3a=4cos³a-3cosa p[A=hsU  
-1 N `y;V'  
　　=4cosa(cos²a-3/4) Mrry6!  
"uiC>0@:~  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Xf1*  
V/.Z_81a  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) a}jS{WrJ  
/R a^~,  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) b?Gz,?%r  
e)7ZjS;  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} P]g;*=<  
U1%+7.#&`  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) QI>SG|0n  
MW{(9u92  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 9Ds;W_^z  
7=i;wl  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] kj["Mwoi^  
Ng-RBNFAH  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ~8K\og\$  
W1 wPGlLq  
　　上述两式相比可得 x=17"O'  
r_\p=>?e  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) *dq}(k|  
n&9SL4S  
半角公式 n,kYTB  
JLlTPZ!  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 3B;E c3/=8  
NwYc:P uX  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $9 LsB-  
_lQpbwm  
和差化积 P-zS7=.z  
k%wh1c  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] UaqTOZ*W_  
2!6s|)0  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $'-b{N:\=  
SVy%nm  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] hMW^>q  
8V`4 #{Q@  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] UnTo>wkdP  
.xKrU,g  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) 1+iq'  
8 \@bow  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) mMT_ ub  
%fj 3[|T6  
积化和差 U=mq(0X  
+bi1t~2F  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] 8mfx7  
ERB5bu 2d  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] T*~a6" !TG  
:kb*9{  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 6&PxA/bv  
ax.#XQ^Gx  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] qHh#ObLB  
cj@~EigDN  
诱导公式 _"$u`)H  
.'9^a;g   
　　sin(-α) = -sinα jOm'aE[o  
R!]9Ov| T  
　　cos(-α) = cosα Mb<BitJn  
3WKR \x  
　　sin(π/2-α) = cosα l0BSn"*T2  
nX={)(`#  
　　cos(π/2-α) = sinα #)lF]M[Ri=  
))K>[/4  
　　sin(π/2+α) = cosα fWf{l]X(B  
|1|vNF'T|  
　　cos(π/2+α) = -sinα MVh^j oCZq  
Dy68R7*  
　　sin(π-α) = sinα J2oQ?d4  
:.} ?  
　　cos(π-α) = -cosα C#fCLUukR  
]<"RLWNH  
　　sin(π+α) = -sinα +As*)NG^/  
'dX<sv!  
　　cos(π+α) = -cosα >2`r4 V  
7Hac p}m  
　　tanA= sinA/cosA % :UM-<T   
>%`o00Ir  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα dAboyQ78y  
#@28"<lh~  
　　tan（π/2－α）＝cotα {/AXkt"|=  
6uLe*0$  
　　tan（π－α）＝－tanα ?|K|Tq>g  
J@Pd,Xx  
　　tan（π＋α）＝tanα k-66E(\p  
h+Zq`"BbY  
万能公式 ?1Wo6 . *2  
JEFu9nD  
　　 Ci#wGZ  
i zD@|0#  
其它公式 oD:y  
[{fHn"Y/  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 0fIOLkK  
N)f[ @" <  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 V;.V,(P  
CC5r*oo  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 682<cH  
Y:v?oD  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 U+~ Z0D  
\vd6z   
　　对于任意非直角三角形,总有 v|KV\w$*  
u+E0Dl  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC x!4JSTx  
` \  V  
　　证: c++mxy|\e  
;ry^y3z  
　　A+B=π-C @"F+Z   
sShoW,b  
　　tan(A+B)=tan(π-C) dda|7m6|2+  
%V/D26\/  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) K.vv0C%NZ  
+idgE7U  
　　整理可得 0rW @   
EbY*c`)M  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xV)",rL>  
*N8eMtf(`  
　　得证 '`Dx>$j  
:<cT&&  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 nc&fdht <  
gI2cmiS  
其他非重点三角函数 BK4d-7.  
H7{E+O=  
　　csc(a) = 1/sin(a) vHJU}0KFn  
>4x`*7  
　　sec(a) = 1/cos(a) sh=z5 2;Xn  
N[{j$D   
　　 ~ ?j-E=f  
u+jyaV:[U  
双曲函数 "%,Z~7Cb  
+^QO#yT4  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ;Fg78S`x  
`JR&#~k3~t  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 5dB'R5Kv  
P;}Dy  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) >U]CkXh  
s}$V&`*@D  
　　公式一： Kz5,` N=mf  
~!jfM:  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 2d \Ia3  
lds@8.j  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 0Ug`!Fj@  
7Sp=BNq>(  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Rij.<mCw~  
vjk PHN}`  
　　tan（kπ＋α）= tanα fF.1)h{k+  
(1!t'cX!  
　　cot（kπ＋α）= cotα o!" ~8_s  
'<m{>>H  
　　公式二： &haO=9%ig  
3kaxRB[  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： S`W)  
/ Ze&r0 I  
　　sin（π＋α）= -sinα u|\db-50h  
\&4u<_pH$;  
　　cos（π＋α）= -cosα (/IfcA  
`)~<7P29  
　　tan（π＋α）= tanα G.m)p b  
![h`A%Y4  
　　cot（π＋α）= cotα g[W {2Cm  
nI+t67N  
　　公式三： EZI py7BL  
+\ \,Z%  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： t; RP aF  
&5dC;j2HH  
　　sin（-α）= -sinα Qtp$.#YQ-  
8DsN-Q Mt:  
　　cos（-α）= cosα 6?Tj0A0r C  
V?i<)62r  
　　tan（-α）= -tanα @h',#QI}  
.Nuw >*H{  
　　cot（-α）= -cotα 5`D*';{D  
[S9Hf(ngU  
　　公式四： | 3qNk  
}5JLB  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： `uJ]6} H  
.Y [**  
　　sin（π-α）= sinα Z{ O~  
Iv>DoX],C  
　　cos（π-α）= -cosα Zj20d,6nY  
0d:#|Z]rO  
　　tan（π-α）= -tanα Lu_}#ue  
ueX Bgwr  
　　cot（π-α）= -cotα tt)9"e  
a#Wrp|- b  
　　公式五： _[<Mb0  
a{4~*i&_m  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： ?\%;s;`/  
*`_ebf  
　　sin（2π-α）= -sinα W+sMDFn  
Ictq5kt[  
　　cos（2π-α）= cosα =RY[]6t~  
n(mD"p7@?  
　　tan（2π-α）= -tanα v\zJ6lPd  
+U,Vlo  
　　cot（2π-α）= -cotα bjv$Fdo?  
%uRun*=Mp  
　　公式六： Ga 2r 8W  
Vo`g@  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： OXc\ ,5  
.CGy_Eup  
　　sin（π/2+α）= cosα MTpVtduU  
6Mq')#KH8  
　　cos（π/2+α）= -sinα zI{za!S;  
oR38_'s  
　　tan（π/2+α）= -cotα UYp|]$  
4cT okB%  
　　cot（π/2+α）= -tanα , @+5*zd'  
[:"$/U],  
　　sin（π/2-α）= cosα y k>$4@S  
%HMOn8DeT  
　　cos（π/2-α）= sinα !hNUIoC  
Fi7Lb@jR$  
　　tan（π/2-α）= cotα &o1zh>4sR  
upookZ$  
　　cot（π/2-α）= tanα #tVNeYL -  
$Qm`+ ] s  
　　sin（3π/2+α）= -cosα xM/.E!i  
Z}57~QH  
　　cos（3π/2+α）= sinα `AO w&4  
2!RG)y  
　　tan（3π/2+α）= -cotα ^*-9J{R  
YUF]E  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ?Ow'>JZ<  
]]XGt  
　　sin（3π/2-α）= -cosα tLj9COv5  
U1 kl 0  
　　cos（3π/2-α）= -sinα l[NW5[I  
EjI |2 a  
　　tan（3π/2-α）= cotα LTd#[_\  
in[z>(r  
　　cot（3π/2-α）= tanα '\wQrBqhZ  
X&SUPBn  
　　(以上k∈Z) =FxRLuma&  
lFYja  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 !e Wv'P  
?#] q<f  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Xx! y&*V  
!gsIf?bT  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } f;dnutouR  
<>r&lB  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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