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2009-09-04

  三角函数

三角函数内容规律 <F*{: F  
M0` z]s  
  三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. hc0go%  
Mv ^uc'2R  
  1、三角函数本质: We kky  
.v@cd^  
  三角函数的本质来源于定义 {X8GF  
S)i<@__?  
  sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3;/  
E9@9b3x.  
  深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 : Q|1S]z  
2S2>cy-I4  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: S[<d4L W  
*U<2-H+Z  
  推导: ~(UNv  
!:+^."  
  首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 9 Z[k{e~F  
)|L[}[Y l  
  A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) j6Mzxzsy  
_@)@?  
  OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ,,+7 WvA  
_*;v$%txv  
  ∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 G7GMF GM  
\c0',2^xE  
  和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ^+#l=HY  
5?)T\Z  
  [1] Y*vT|y  
<^A2p%  
  两角和公式 K51E),n[  
i. j\Rf  
  sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB x.*z4.z}  
7p,-"u  
  sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  )2nd9Q?%  
4uXFg#%MP  
  cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB W#m<? [B  
{go:G~~8  
  cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~r92wE)  
I ^J1S\G  
  tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =vw)e)  
w )TVB?FF  
  tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a3:AAS&e  
WW!]4P}n  
  cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  3k~j|X  
h.*PF? 7  
  cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Dbo1gd9?b  
[" d3 n^  
倍角公式 j-D/yn}  
}U"L^+%^;  
  Sin2A=2SinA•CosA yGMGEU,j  
d"Q=2.s6  
  Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1  _:GxLwu  
SFF)~#&_9  
  tan2A=2tanA/(1-tanA^2) eez?AI)F  
o\DmmT  
  (注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) Fp=M+>O  
a}KHp:\~  
三倍角公式 =S)e gc~  
rf8P0c$V  
   6QyU{%}2f  
"0O5d!  
  sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) J# $V>  
u2yb,[8O_  
  cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 70ov[-o8  
--(z 3u/  
  tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) c7*;K$)  
M&F ?.r  
三倍角公式推导 )raYa_4  
HV{Q6^  
  sin3a G/t0!CQ+8  
aF+~RM5`  
  =sin(2a+a) U= W]JH  
O9/rv|C(  
  =sin2acosa+cos2asina Iv7>vRn  
GJv"JFaF"  
  =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }w~?B0tu  
Q`0ah;  
  =3sina-4sin³a SXk0On#1 &  
<`AG5  
  cos3a cgD7Me@F\  
7pRA~   
  =cos(2a+a) p35$,:AE[  
m 9Qb'H  
  =cos2acosa-sin2asina H/[j=M*  
;) (Y%a  
  =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0_GiTA4  
!Xfb' 82$  
  =4cos³a-3cosa w,vy:T  
Qx{xq_ C  
  sin3a=3sina-4sin³a _WW3  
nL{uu<I  
  =4sina(3/4-sin²a) ?_ HqW  
S*49}^bc  
  =4sina[(√3/2)²-sin²a] c3Z-1S0  
i/ fm  
  =4sina(sin²60°-sin²a) >zl=0nV\Y  
jM\fB <  
  =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) vg:62&pd  
H3!^ Y-b_  
  =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [8KI%ik  
?."Z5nPa'  
  =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _S?{i|~  
{H|3vLK #  
  cos3a=4cos³a-3cosa B~^ k&  
Q D1LS"  
  =4cosa(cos²a-3/4) p{P8$ 4  
'51t&jfV *  
  =4cosa[cos²a-(√3/2)²] t:A(q*oMK  
NKcUcxOxT  
  =4cosa(cos²a-cos²30°) W[}rt8?  
K 5 #c,k  
  =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]!o9hib  
^|I:_hG  
  =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} :=<kq4xq  
k;$" sG^5  
  =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) .qS<J  
$`\/LC  
  =-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ?~?.w}+  
!,;E E*(  
  =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ppzy>)  
_-'g::7h`  
  =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ld~!?m  
u4k{u'@\V  
  上述两式相比可得 6F{/$K  
@|iz%q|-   
  tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) -}0*MS  
B;80v_U  
半角公式 6SU:3  
SDG2K9yLh  
  tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); FDL|+[1{  
:."m^gR/  
  cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. P~t`{sif  
}~ q\o'b5^  
和差化积 g<7EkKU  
I$:TM,Rx  
  sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u7:BjIci  
e&_uK6  
  sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dHE+Fq{  
/g"i?HmJ  
  cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -SWDnoF25T  
[Ge[%lAk  
  cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )@0a2RA  
B.{kkm) C  
  tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)  /`+S[=W  
zqqnATmw  
  tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $q+GOjzc$  
d "u 3 N  
积化和差 // * s6c$  
f@jQq/<#X  
  sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] YD:{@Me]  
0^V>b&G  
  cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] u;{={{A  
MMg4RG  
  sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 00vfD;5  
Dv}BW|,'  
  cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ao-J~F=ih\  
h$-F0j  
诱导公式 b5k/^Zy   
}V&9EHou  
  sin(-α) = -sinα Nj=dH]kH  
7|f,WYN+]  
  cos(-α) = cosα 0mTb~ D  
4bK{66  
  sin(π/2-α) = cosα <IL~K(BK  
+L1!AGVto  
  cos(π/2-α) = sinα !%x jA{|{7  
%%Q{~ @1  
  sin(π/2+α) = cosα "I >HJ  
9w+ w^  
  cos(π/2+α) = -sinα P:K5@1YT  
&D2D. '7  
  sin(π-α) = sinα |@FU #  
dfvgp el;  
  cos(π-α) = -cosα $z&m3kQ0  
^Q_c_ya_r  
  sin(π+α) = -sinα .Z^p:Q5Wd  
ic~>d-Mh0  
  cos(π+α) = -cosα 2kV]*`g&  
}kw9mD"q  
  tanA= sinA/cosA zojepx z  
[59/$gR"  
  tan(π/2+α)=-cotα hn;`-9[g  
'DLW2_ve9  
  tan(π/2-α)=cotα e9B7A[O  
S4wh8:[g  
  tan(π-α)=-tanα h11CPB<;  
T;U4=  
  tan(π+α)=tanα ~>Qqy0J  
Y<k/[-t+  
万能公式 0 TiZov  
~RC^+[ 7t  
   fd+K(Q/  
dJR>>r3  
其它公式 \V#Jbo'vps  
O|?u]Uf:  
  (sinα)^2+(cosα)^2=1 @{?E;sV  
Y|ick+N  
  1+(tanα)^2=(secα)^2 4D,KXE2=@#  
H+ q'[- +  
  1+(cotα)^2=(cscα)^2 ey)',T/  
^jb0AE  
  证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 &RG\\WK]U  
a=KS>x  
  对于任意非直角三角形,总有 >e L/i  
^=X %vo  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~LB*AJqs\  
'4jy~b20q-  
  证: :W|XyW~_  
17hp' &&V  
  A+B=π-C  quS`z,\  
}zb2:c;  
  tan(A+B)=tan(π-C) A!`3|ZnIe  
 Sz_xE>^"  
  (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) {#D<1N~  
ir!E:,'U  
  整理可得 _)^z&0  
7L+Z}o ;  
  tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }=Rn (}  
I:3K?cL  
  得证 newmYSo   
1vT!'>Q2>  
  同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 k6=Q%h  
-v&lQ\1 1  
其他非重点三角函数 N=L>3chr  
nGXiUd; 0  
  csc(a) = 1/sin(a) EedB2lbC  
bm/kL2D  
  sec(a) = 1/cos(a) O3?A6n 8,  
fP/f#^  
   U q[GE0Q.  
V[EY0zIB  
双曲函数 =E!/55w\  
]=h .=o  
  sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 JZM*gW'  
% P;3uPp  
  cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 9^I    
aDXEM8'nE  
  tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) E@'r`4~  
B7}~F   
  公式一: L^)ZS  
Q[rn=a4  
  设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: F#Ovc}dkQ  
]&ZdD*p  
  sin(2kπ+α)= sinα ~te@p m)  
~()2{Ob-4  
  cos(2kπ+α)= cosα 7x4l.k'c  
7ETU\8X  
  tan(kπ+α)= tanα : IM %R,  
 D;xn  
  cot(kπ+α)= cotα =X'>>[$d  
D <?<7?>  
  公式二: }@w'|ev  
{ZW_?~{:\\  
  设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: QG4V4Z,L  
5_Gh%  
  sin(π+α)= -sinα i}Z5Y8F3  
eZ{ s_jEm  
  cos(π+α)= -cosα ;?Tph pc{g  
Zaho(#P  
  tan(π+α)= tanα Ge[ pl  
{)36NG  
  cot(π+α)= cotα +6ihGsz\V  
TAS)=(f&i  
  公式三: PT,c)}  
WpV D`  
  任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 9rj5_C Tb  
!D ng&cR"  
  sin(-α)= -sinα 8op%RGh  
9"wlv.]&h  
  cos(-α)= cosα ,jnFXAUu  
:^$cq+  
  tan(-α)= -tanα i[ncD0HKN  
Yc=HI   
  cot(-α)= -cotα N/Ut7}b#:  
#F74%  
  公式四: 8#BuMRZ8Jy  
K*1e9 v9  
  利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: -] ps/bGu  
>fMa(Ho@  
  sin(π-α)= sinα 3+bh<.V  
8g,._)g  
  cos(π-α)= -cosα =i^r+  
~MQGddUl9@  
  tan(π-α)= -tanα R4XX-"uo.  
I,T#mnbvC  
  cot(π-α)= -cotα nk^"*{}r  
`dbBFZ  
  公式五: ELzhx  
A&i`S,QVXE  
  利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ^2{N6s|[Q  
{3+7nX9x  
  sin(2π-α)= -sinα d `CooG&  
3 cAC}yyo  
  cos(2π-α)= cosα R:7(p5Bl  
CUhN)RFq  
  tan(2π-α)= -tanα Bn |(q:?Fi  
NEI&  
  cot(2π-α)= -cotα G}*+N JT  
L[1{de@e5_  
  公式六: A]5Iv_yz  
ToCQ,gVt,  
  π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ,c.7`t  
/{[M/%$  
  sin(π/2+α)= cosα )<@,J'  
pS}$&{  
  cos(π/2+α)= -sinα {kg<%U*&f  
QP%qHK*>-y  
  tan(π/2+α)= -cotα w.Y^3];z  
9t|~0D#  
  cot(π/2+α)= -tanα [.|4\*3  
wp0FJ?Uy  
  sin(π/2-α)= cosα (r*FeT;  
3nWh&u{  
  cos(π/2-α)= sinα  v]j  
eLwR/kA  
  tan(π/2-α)= cotα !_o8: J  
ozqvD 89ya  
  cot(π/2-α)= tanα >n+s00uM  
/0*VQj  
  sin(3π/2+α)= -cosα y H0=cYV  
T6AS=+s  
  cos(3π/2+α)= sinα UiSDcv  
7@/Hzp;Z  
  tan(3π/2+α)= -cotα 0b3fJ $o&1  
?6.JwB11kY  
  cot(3π/2+α)= -tanα Ti de=  
A5MqFseA  
  sin(3π/2-α)= -cosα P,jB@bc_L  
%e=FcUq|  
  cos(3π/2-α)= -sinα IV8N]z ;I[  
(o+fwrNe  
  tan(3π/2-α)= cotα = ~LWfK~QU  
?iSg 1(  
  cot(3π/2-α)= tanα 8Jz@g!Cx  
&W4!& ]o~  
  (以上k∈Z) }B8cPw  
F@X4% 2T  
  这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 w7> 6R||Qm  
J]^)?5Kt  
  A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = R@pT ]zR  
,Wg&bP  
  √{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } K?2b4 H*  
XG03O\  
  √表示根号,包括{……}中的内容



迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
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