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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 @6 ^L*My  
,d1F*gs  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. Z}n:Ib^N  
y6G>IqN%  
　　1、三角函数本质： G;Ya0z7a  
riZ b1,Hi  
　　三角函数的本质来源于定义 VpwI[w  
vh9e7b<  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 <.z[BM|  
L5u>am].L  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $B90rA@h  
_9z<w#  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Zq]]qO-)O  
~Bl&)Xg  
　　推导： .&>NT3Nel  
(4^ 2L<[  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Ih_[;A  
a.1vA $I  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) uCq7,P=n  
2f^<0\a.'  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) D``A{  
Du5:`  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 #kr9L3=  
("|XYLtS  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） W;6RI  
`;9hOR ~<  
　　[1] p+A!UA;9  
)Af\6?xiu  
　　两角和公式 ;It J^  
FkOtCr<Jfe  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 1F<!+O  
OUy2 wz  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  .O%>U0y5  
DMP`  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB DhFp~Yt  
DWd()0V *  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB WqpTlZ  
tE+= ").+  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) T<@]qeVE  
/OFDIGn7;  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) u p<*4l*  
1_$s"0JrE  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  WZ2-be1  
7G{P\I?v  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) ;Mhi|q  
8}aO e1$  
倍角公式 6BC+b_~  
qD(~zb<=  
　　Sin2A=2SinA•CosA I"wMn?m H1  
ad!s%k~9  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HjVf+^;,  
:gTwHqs  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） n|Ztf0s  
56q{)i  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） eSPB og  
l;pCX$36}  
三倍角公式 `<&HM^"  
4Q%}4a"^  
　　 *phdN.M  
P' $~&;  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) _'2%o?C6  
~Nq>,Y%a  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \bN*o_--  
Zd`{uuT  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) b45H|Q  
/vR97>9G  
三倍角公式推导 ^(6A o7  
8;`~P36  
　　sin3a P(k>[6-U  
%ud%/1(  
　　=sin(2a+a) QELur  
"@SgmQ67  
　　=sin2acosa+cos2asina ,mD W u.  
10do!(a`  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Ab ^X;  
Vk@uL=#f^  
　　=3sina-4sin³a e3ct`[Y  
g>]|CggT  
　　cos3a )(__[$/E~  
%ZvcyPEB  
　　=cos(2a+a) [aX=FCwG  
n__k7i  
　　=cos2acosa-sin2asina q@_~   
p-x,IE(  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa hj;Ql%9pQ  
f7IdM_II  
　　=4cos³a-3cosa C<p8HnAd5  
8 O!,83ohQ  
　　sin3a=3sina-4sin³a eZG{5   
u[}'h~9e2  
　　=4sina(3/4-sin²a) IjPk.l|  
.|*YaKShD  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] "D HAH,='  
ayb?s<!qA  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]x<')!  
rAFTCqS6  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) js3k &5  
JLmU[G  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] P.dA%b  
e_l qCO  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) l jEwNd9C  
Nigx+ _sa  
　　cos3a=4cos³a-3cosa  28Zn  
F.f'[  
　　=4cosa(cos²a-3/4) J#3ZD.  
:eCKp\Pb  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] /M_\uHye  
"5>}P?v  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) j&zsI=#  
%J.nxKg 1  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) h=gsD#)v  
@~5%cr  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} 5v7_ -H4G  
S75G c52  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) }.fte)6DZ  
j)FyM y7l  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] eCeTD9hgHl  
6.nb0bq  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] E,X=Y  
WDt %-O  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 1 |I0{ /$  
nM{5y99o?  
　　上述两式相比可得 zo&6n3!4p8  
WZY:UJ";  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) G]m!tZK  
M)RX bCr  
半角公式 7p+ a!z}P  
e55uN8kg  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); Nxf$&PU?~  
e5m<^r+Z  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. $^Uo]RZj  
;g~NB4G  
和差化积 f@ ZJ  
PbZwUv V  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] qm6a*}  
%Gw1'V]  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !I&Q[=p  
QP|I(rVsO  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] D+%7br  
*CCI#qY  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] E2UH QR3  
`uE?zaU  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) LDV:1ehzWG  
/2] Q$:.wu  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) du}uq 7  
OU` y_p&4  
积化和差 c*){+'uz  
<?=cnL!  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] )Ssz>'$  
Lk,{x,f{'  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] r{!N~Lh h  
joLLq(  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] E##vC M^.  
Jd& |+#5i  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Y'kd>,(c  
_8\{eWb  
诱导公式 yR08 g5 8n  
% K-m+uX  
　　sin(-α) = -sinα Nu[pr[[-$  
)<uo/KJ  
　　cos(-α) = cosα mei+%:  
TDycM'h  
　　sin(π/2-α) = cosα iUdVNJk}?  
.6asiuO  
　　cos(π/2-α) = sinα ?Li 56 `"  
]aNvt,Nf"B  
　　sin(π/2+α) = cosα L mFK6\^5  
-d]k!#R  
　　cos(π/2+α) = -sinα lCaWtiN-  
^C4j6$32$>  
　　sin(π-α) = sinα E/Bc>d;  
)#rbD_  
　　cos(π-α) = -cosα wE?|cV9  
n= 1 4k  
　　sin(π+α) = -sinα Y ]\tqj  
GoiY) 4rc  
　　cos(π+α) = -cosα TPJ^3=sz  
Mw < ;q/  
　　tanA= sinA/cosA 6e)tFG=Z  
' #4*Qg6s'  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα n3rnOh%A  
G)jaAn?  
　　tan（π/2－α）＝cotα ;i|9] sq  
H- >wPuW  
　　tan（π－α）＝－tanα U]= <Nky  
~rJO Y{h  
　　tan（π＋α）＝tanα wA4p5`  
'A> " ;  
万能公式 RIapSwl]  
t 1> #M2  
　　 gn0}fUv^f  
WZ~ah$(  
其它公式 WsWUj\w  
Rii:*Y*O^  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 01Sd&8u  
ob1D81i  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 p<]ZTn{+al  
Yi]8(`N| f  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 pT$3 "}  
/&nX^Ak  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可  ! l> u:  
K|LNfeE  
　　对于任意非直角三角形,总有 s+t,-PP  
susw#Ji1  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC r& x`vq  
BMv_ RPR  
　　证: b+'2L8J*T  
CT? 09 f[  
　　A+B=π-C \[_D,@Is  
`T^q9Ku#HV  
　　tan(A+B)=tan(π-C) P_#tw#NE  
RP5f3@y{  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) RlKI02  
9Wje?Rf  
　　整理可得 PXh1,.  
f3=J lD4  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L "}8  
e)m@~n  
　　得证 H eB:^Ldz  
?~$AjqF*L  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 O W<   
aEOn e  
其他非重点三角函数 E:q b\65  
9QWSL  
　　csc(a) = 1/sin(a) "Z x.  
h i*kD  
　　sec(a) = 1/cos(a) wAd7KS:K  
mSP:Xid  
　　 [D^Krk=(h  
B'lEf6bT%%  
双曲函数 Byoa>  
GPJU]5  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 u0!Rzs l^G  
KW/<UY3b  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Y].W4  
LlwJ-w *y  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) r 'xr  
NJ6xJr   
　　公式一： 0boOs2H`  
O/+BTF5yp  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： qcfZ\Q  
,A6+z3d<  
　　sin（2kπ＋α）= sinα m.i{5?X5  
6qss]gVT-  
　　cos（2kπ＋α）= cosα eK@m0l{-G  
mm9 ~5FW  
　　tan（kπ＋α）= tanα G a2Di{6.  
n pKi]mo5  
　　cot（kπ＋α）= cotα i_|2^x#X  
)xJy_K3e^M  
　　公式二： 8a|[*un3`  
*q1Z=!O  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： pnK;L[?  
^juC}a/  
　　sin（π＋α）= -sinα t_nkN&1  
M_t'$|  
　　cos（π＋α）= -cosα h)@avVu$  
-''(.  
　　tan（π＋α）= tanα x]`hheo6|  
*4z~Mc*\j  
　　cot（π＋α）= cotα qvw u:7  
p,F!)'af@  
　　公式三： 'W3B0R*hZ  
}ee',Qd,  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： *F*Cjy`R  
[B1 g*;  
　　sin（-α）= -sinα hO0Ko L  
:;([Z"|J  
　　cos（-α）= cosα ~2:ZS)U  
>yl^8  
　　tan（-α）= -tanα :?;H`=#=  
2.LyjAI  
　　cot（-α）= -cotα yK!Lby~jA  
nD?-"&wzx  
　　公式四： ska0_OD  
_F[I&Y~_  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： VQ 8P6T  
>|$}1"i  
　　sin（π-α）= sinα  O\TRJS  
 CN':}  
　　cos（π-α）= -cosα C, :&FWS  
+p:3J%ew#  
　　tan（π-α）= -tanα Sh;XR7u;  
a;qh->6  
　　cot（π-α）= -cotα ,DA1y)  
Gf%G_  
　　公式五： 9GAS< j  
80dgm8W- +  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： /b!U9c`t8R  
3Gx@?$r  
　　sin（2π-α）= -sinα f!,_] %  
F89oH\g  
　　cos（2π-α）= cosα .wX9   
O01* \ 'ut  
　　tan（2π-α）= -tanα 0R-bSQH,  
zx'i<.J;*^  
　　cot（2π-α）= -cotα h@X<$m9@.0  
 Zu ^-}G_  
　　公式六： ,M-5:vh  
>)ysLd-  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： o 4!|j+?y  
A{z:p$g  
　　sin（π/2+α）= cosα kiQ-/>t  
:i]=$4  
　　cos（π/2+α）= -sinα ?QF;M. HPX  
;XG`qn^z  
　　tan（π/2+α）= -cotα WlF^mXN@  
L=)t'WGd#  
　　cot（π/2+α）= -tanα  Bi p-p  
v@GrcZ1d  
　　sin（π/2-α）= cosα GnwwQI E  
ea@L=^Iw  
　　cos（π/2-α）= sinα S.i7M^"t  
6y~fHsZOy~  
　　tan（π/2-α）= cotα $I9(C:<  
v\cTK1_D  
　　cot（π/2-α）= tanα $2y.zb<  
o^7Q}L6)  
　　sin（3π/2+α）= -cosα &F{qgXE  
>C ySq]_  
　　cos（3π/2+α）= sinα Y#,E2Sk  
=Or4sf,jr  
　　tan（3π/2+α）= -cotα XhNW b7A  
KQ>gs +L!  
　　cot（3π/2+α）= -tanα :?aMbX>D  
;,dX b[[  
　　sin（3π/2-α）= -cosα 03 i[px04  
l%I$gak  
　　cos（3π/2-α）= -sinα  (RYtn/ k  
$T)ZQi5  
　　tan（3π/2-α）= cotα z5b/{U'  
{e6*R#Z  
　　cot（3π/2-α）= tanα " Ne0>lv  
  ~(0S5m  
　　(以上k∈Z) K<jo nP%  
~K-7^i  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 }*p;-uE:  
&Gj@"5yT  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = rvm'&%:%  
L\sL  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } VE_jcwR   
"5 U\KA%  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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