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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 S@\ )J6^E  
?v:e<MUgo  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. M;u$ x6~  
_|E)q  
　　1、三角函数本质： 4eDB#_]Un  
1}8\=.]"  
　　三角函数的本质来源于定义 Z N:"U&  
=c0d]x+a  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 e6@>w  
mD vdr?;u  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 =Wl9 }b<a  
O%9Bz,&S`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： u6+SCX2V  
!~*CpQiM  
　　推导： e;1te5  
zjq,?jG&{  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 x(Hd<  
2*i@;VC  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) _,=EZ1pF  
n"bfLej  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) z+dr*mS@Z  
#1rz$(A6  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I@m@K)  
WaP/c9h  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） z"+dfs@Z  
9Fw&zX  
　　[1] Z~3|M\ z  
+WHBd}ap  
　　两角和公式 #V !p/Y  
si XsEDzO  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB icT*4)z  
G<,[i #  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  /`:$./eb  
Y8Q;-50RM  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB <iJk#o  
x$1-TP^D+0  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB srr23ym  
)E7UgB  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) [o'j8u  
f|lqYZ!>  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) XAAW $t~&5  
vO?Q!C  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  `5m(T>#A  
\4y hDySr  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) lFwL6QR2  
^01-#L|w9  
倍角公式 R5~0~:a  
Yx%RS+qGP  
　　Sin2A=2SinA•CosA x+O}P4  
|dj"1~d2R  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 3YPfDU*1gc  
u0}+YydSN  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） Vpe?+  
]L7 s\&Q*  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） YOvBw=  
m'=Mn,|~  
三倍角公式 Xp#/#`  
'>Ny+J KcJ  
　　 eg@w0@K>  
#QU1O ky  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) WO7'S6<qL  
%}{rwdfIl5  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) !iPZ=fYh  
~"3 ('/~  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) O=n+7!=IZI  
hHL(]%[+n  
三倍角公式推导 P( ~Wm?  
N{^ev'R  
　　sin3a m3s$jW  
^`,qw95  
　　=sin(2a+a) (i gf{`  
?((AX!T  
　　=sin2acosa+cos2asina SJN!*LOC=  
cs_)JdDF  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina y\"_XLz[  
i#PI_.2L7-  
　　=3sina-4sin³a o8& _t`  
4[@04F  
　　cos3a ao&n?V  
Fz@C/?r)R.  
　　=cos(2a+a) ??J-jW_Xs  
L:fSeXv_  
　　=cos2acosa-sin2asina /)(,J  
i),e` fi  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa j,?PSHg__?  
0 f%+ocYZ^  
　　=4cos³a-3cosa S;n29#S[  
%VCf3hvz  
　　sin3a=3sina-4sin³a !8X3 _   
Xuj NYOk  
　　=4sina(3/4-sin²a) HcZLHRmA  
c&$'qlE&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 45'YSkHi  
3eC/Vs?N'  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) m(CVuyb  
prs"HdRbX  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) \R@<VI[X  
U6}*7S;+ O  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] a"pkJY  
G[$I^=  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) BC] ^):6  
+O$$z bS  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 7,TIg1zl  
=C.cP K=t  
　　=4cosa(cos²a-3/4) .RawS +H  
60Zx+9Ji{  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] H%r2{w`  
f6 >4|k2  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) i:x9>d%  
iY1jGbru  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) OcGIm#-Z  
`U pMNB&G}  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} t7s%T(   
d3pEoad  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) z-0r  
d!gD*VI4  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ^g( O0a  
M6%.<P:h  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] hf!t,sna  
`. T>p"W  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) raoO? #i  
Xb^d;w&q  
　　上述两式相比可得 M#XAK2R  
h/x3R)HL{  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 91 p5A>7  
`&RY%V ?7  
半角公式 (^3'{~wm5  
*rN%i"ce  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); GCb_ m|".  
3hrG&O  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. XD r  
b3cM|H0  
和差化积 jgu<d&\T  
}[W./U  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] @Rr{."~b  
i_Qos`zC  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] \%>}k#  
 45TJ>vW  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] s,uSb  
?f4pP*=1*  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] U2SHVd=m:  
}'vVn   
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) V,Fp64k8Z  
@yhQ]T0zD  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) ^g?+"Y}jB?  
Z\/} sF S  
积化和差 qe~(a/<$F  
.l:o/X@D~  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] <gyZwlo  
zR ?n!Z2!  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] vsSQ0$F`  
4M8\e(oz  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] z[^ /^m0[  
#lA8fz$@  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] +'> *G  
T@xv#yzV  
诱导公式 R l9Oq_Q  
O~g1\?+'  
　　sin(-α) = -sinα u PLU{p  
|Yr+'{t  
　　cos(-α) = cosα z&5#g..Z6  
I8kqk-;0  
　　sin(π/2-α) = cosα OI{YT^N  
B5C)?v B  
　　cos(π/2-α) = sinα X$RY)  
L1S"x*1  
　　sin(π/2+α) = cosα ?>_elN  
Tf M =yRGp  
　　cos(π/2+α) = -sinα XP$b[e\  
: |Ldr  
　　sin(π-α) = sinα 3Gu='PB uA  
xvpGf*  
　　cos(π-α) = -cosα , ! TS aj  
4) o[US  
　　sin(π+α) = -sinα Hi<Yklh  
O&R2 =t  
　　cos(π+α) = -cosα 0> IZCiR  
>qq#P!Gs"p  
　　tanA= sinA/cosA vUs^ xR  
Q !YUfa  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =r^dP#  
B +r+t  
　　tan（π/2－α）＝cotα V8A1  
'pSe+7\  
　　tan（π－α）＝－tanα F _7I/}c5  
s.;)bBW  
　　tan（π＋α）＝tanα zE)q fL  
.'{htbj  
万能公式 k% Nia  
Fz*0||R  
　　 (O>[GjM(68  
]Y5 >54D  
其它公式 d1_U\Gei[&  
C5j.jQn  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 GW fX  
p+je HG  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 )]k+D5]V  
/;(n (l  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 EdnTL  
5n&{j|@UA  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 &"c^lf F  
KjLGG-+5  
　　对于任意非直角三角形,总有 n81B%sZFS  
1<t$qF/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC <& K0n  
M'k+_5w_  
　　证: HO8' u#  
aotpY%cA  
　　A+B=π-C z?5$ioW;  
yfWr[W  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ~_zWM @i&  
k2jA{.d!&  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) x6<L<e?'u%  
6.q(d:,,5j  
　　整理可得 JxD#SZS  
O!))H_;~  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L|7R=:*&5p  
;AIA8%'!y  
　　得证 n. <{!WX{P  
E,]l~  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 $e],&RT]  
iO5:gmq{  
其他非重点三角函数 ja)T2b/h  
ty+ 3%  
　　csc(a) = 1/sin(a) k&>(!fi  
@50\_/  
　　sec(a) = 1/cos(a) Ewp!AlX  
o{C n2o`|g  
　　 j <rJ  
@c6RJzab  
双曲函数 >=*+_z#8  
P|%ryMi  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 \ZJ<R}Y  
|!$Uc<"^9o  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 A|I u-1  
82xo'Y:  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) bcT [  
H36X?,~|O  
　　公式一： HFZ,3  
tx\y.z unW  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ,j4!:v  
!6G?0{s  
　　sin（2kπ＋α）= sinα J7%~F^|y`  
U6/ w.h z  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Zhca.F$  
]~xP|g=67  
　　tan（kπ＋α）= tanα Gy/m( RmY  
^i^<0^  
　　cot（kπ＋α）= cotα qzF\{  
d %T`6-  
　　公式二： 2D_ /\i  
uFkfy,=C  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： X!+N+Wi  
q!\,[;]0  
　　sin（π＋α）= -sinα r-M$J  
6r ` TL  
　　cos（π＋α）= -cosα v GkEa>M  
\0uN*6z  
　　tan（π＋α）= tanα +dDAKg)7  
0IcVS{  
　　cot（π＋α）= cotα 'kDQ < t6+  
<JD:I~ #  
　　公式三： rZ( PmBEB1  
F<>&&+QOY  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： +:i   
h\hp_`B2  
　　sin（-α）= -sinα 3@BA,O[J  
X\|d~z&  
　　cos（-α）= cosα LY7: HvF  
H{HEgnY`  
　　tan（-α）= -tanα f)x)"ke  
f "Yg  
　　cot（-α）= -cotα @ByqJ1|>e  
Nos2L@5%  
　　公式四： x'U8Q\  
NamDf#3#  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： S!K*]G  
AbF 2h  
　　sin（π-α）= sinα Tq :f|d%  
ra Kp%K  
　　cos（π-α）= -cosα n-EY!M$@Nt  
$G3z ZB  
　　tan（π-α）= -tanα :hwR^`c#F  
_\qsH>_N.  
　　cot（π-α）= -cotα Kb|aS/\|J  
:^I RWb&  
　　公式五：  86~tSo  
\I&q tXB  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： WB"f,  
K?L!;PVv  
　　sin（2π-α）= -sinα lM+ QM   
_o}*) \`  
　　cos（2π-α）= cosα EHHvZPn  
6Flc C{JD  
　　tan（2π-α）= -tanα \.( {=y  
#7=0.{Q2 d  
　　cot（2π-α）= -cotα 2*+=t0R1<|  
`(lTRLUM  
　　公式六： `!(E}b.  
\[]0."  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： ?/1w@auWH  
M9LU.5?  
　　sin（π/2+α）= cosα U[p k`v0\h  
% VY'Y  
　　cos（π/2+α）= -sinα m*e^i_  
Nv|oS/NB  
　　tan（π/2+α）= -cotα -+4G!5]  
`H8lKq6>  
　　cot（π/2+α）= -tanα OVR[]d?y  
@K-+'F  
　　sin（π/2-α）= cosα ?-~!{|#   
UQIb >'J  
　　cos（π/2-α）= sinα Irbyyl}  
:X^/s J:  
　　tan（π/2-α）= cotα L#0J^=4"  
84)v1=#&  
　　cot（π/2-α）= tanα (S& -lxd;  
BJO;bAx'  
　　sin（3π/2+α）= -cosα a3m8&]"8  
QS2;h'p  
　　cos（3π/2+α）= sinα #w*NRj[_  
PbMaTAm7#  
　　tan（3π/2+α）= -cotα %:UzH8;Vi5  
3'uH[k  
　　cot（3π/2+α）= -tanα R/vR 'kIG  
36<{dGa  
　　sin（3π/2-α）= -cosα je=en/b`  
s\Q1ep"  
　　cos（3π/2-α）= -sinα KFKmuQ5L  
n$M %u  
　　tan（3π/2-α）= cotα y?ZXIY(m  
7AIwd#A`3  
　　cot（3π/2-α）= tanα E0!PJWKh  
l^&7u  
　　(以上k∈Z) BrWo( ]A  
0,9 at"s  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 t,dJi6p}  
YnUbh2  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = GI[7Ig&it  
h"%FBB  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } !y9HR{n  
muQSElO0o  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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