三角函数内容规律 <F*{:F
M0` z]s
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. hc0go%
Mv^uc'2R
1、三角函数本质: Wekky
.v@cd^
三角函数的本质来源于定义 {X8GF
S)i<@__?
sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 3;/
E9@9b3x.
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导 :Q|1S]z
2S2>cy-I4
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例: S[<d4L W
*U<2-H+Z
推导: ~(UNv
!:+^."
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点。角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD。 9Z[k{e~F
)|L[}[Y l
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) j6Mzxzsy
_@)@?
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) ,,+7 WvA
_*;v$%txv
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 G7GMF
GM
\c0',2^xE
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出(换(a+b)/2与(a-b)/2) ^+#l=HY
5?)T\Z
[1] Y*vT|y
<^A2p%
两角和公式 K5 1E),n[
i.
j\Rf
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB x.*z4.z}
7p,-"u
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB )2nd9Q?%
4uXFg#%MP
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
W#m<?[B
{go:G~~8
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB ~r92wE)
I ^J1S\G
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) =vw)e)
w )TVB?FF
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a3:AAS&e
WW!]4P}n
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) 3k~j|X
h.*PF? 7
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Dbo1gd9?b
["
d3n^
倍角公式 j-D/yn}
}U"L^+%^;
Sin2A=2SinA•CosA yGMGEU,j
d"Q=2.s6
Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 _:GxLwu
SFF)~#&_9
tan2A=2tanA/(1-tanA^2) eez?AI)F
o\ DmmT
(注:SinA^2 是sinA的平方 sin2(A) ) Fp=M+>O
a}KHp:\~
三倍角公式 =S)e gc~
rf8P0c$V
6QyU{%}2f
"0O5d!
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) J#
$V >
u2yb,[8O_
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 70ov[-o8
--(z3u/
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) c7*;K$)
M&F
?.r
三倍角公式推导 )raYa_4
HV{Q6^
sin3a G/t0!CQ+8
aF+~RM5`
=sin(2a+a) U=
W] JH
O9/rv|C(
=sin2acosa+cos2asina Iv7>vRn
GJv"JFaF"
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina }w~?B0tu
Q`0ah;
=3sina-4sin³a SXk0On#1 &
<`AG5
cos3a cgD7Me@F\
7pRA~
=cos(2a+a) p35$,:AE[
m 9Qb'H
=cos2acosa-sin2asina H/[j=M*
;)
(Y%a
=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0_GiTA4
!Xfb' 82$
=4cos³a-3cosa w,vy:T
Qx{xq_
C
sin3a=3sina-4sin³a _WW3
nL{uu<I
=4sina(3/4-sin²a) ?_ HqW
S*49}^bc
=4sina[(√3/2)²-sin²a] c3Z-1S0
i/fm
=4sina(sin²60°-sin²a) >zl=0nV\Y
jM\fB<
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) vg:62&pd
H3!^ Y-b_
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] [8KI%ik
?."Z5nPa'
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) _S?{i|~
{H|3vLK#
cos3a=4cos³a-3cosa B~^
k&
QD1LS"
=4cosa(cos²a-3/4) p{P8$ 4
'51t&jfV *
=4cosa[cos²a-(√3/2)²] t:A(q*oMK
NKcUcxOxT
=4cosa(cos²a-cos²30°) W[}rt8?
K 5 #c,k
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) ]!o9hib
^|I:_hG
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} :=<kq4xq
k;$"
sG^5
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) .qS<J
$`\/LC
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ?~?.w}+
!,;E E*(
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ppzy>)
_-'g::7h`
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ld~!?m
u4k{u'@\V
上述两式相比可得 6F{/$K
@|iz%q|-
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
-}0*MS
B;80v_U
半角公式 6SU:3
SDG2K9yLh
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); FDL|+[1{
:."m^gR/
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. P~t `{sif
}~
q\o'b5^
和差化积 g<7EkKU
I$:TM,Rx
sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] u7:BjIci
e&_uK6
sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] dHE+Fq{
/g"i?HmJ
cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] -SWDnoF25T
[Ge[%lAk
cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] )@0a2RA
B.{kkm)
C
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
/`+S[=W
zqqnATmw
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) $q+GOjzc$
d"u
3N
积化和差 // * s6c$
f@jQq/<#X
sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] YD:{@Me]
0^V>b&G
cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] u;{={{A
MMg4RG
sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 00vfD;5
Dv}BW|,'
cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] ao-J~F=ih\
h$-F0j
诱导公式 b5k/^Zy
}V&9EHou
sin(-α) = -sinα Nj=dH]kH
7|f,WYN+]
cos(-α) = cosα 0mTb~
D
4bK {66
sin(π/2-α) = cosα <IL~K(BK
+L1!AGVto
cos(π/2-α) = sinα !%x
jA{|{7
%%Q{~
@1
sin(π/2+α) = cosα "I >HJ
9w+ w^
cos(π/2+α) = -sinα P:K5@1YT
&D2D. '7
sin(π-α) = sinα
|@FU
#
dfvgp el;
cos(π-α) = -cosα $z&m3kQ0
^Q_c_ya_r
sin(π+α) = -sinα .Z^p:Q5Wd
ic~>d-Mh0
cos(π+α) = -cosα 2kV]*`g&
}kw9mD"q
tanA= sinA/cosA zojepx z
[59/$gR"
tan(π/2+α)=-cotα hn;`-9[g
'DLW2_ve9
tan(π/2-α)=cotα e9B7A[O
S4wh8: [g
tan(π-α)=-tanα h11CPB<;
T;U4=
tan(π+α)=tanα ~>Qqy0J
Y<k/[-t+
万能公式 0 TiZov
~RC^+ [7t
fd+K(Q/
dJR>>r3
其它公式 \V#Jbo'vps
O|?u]Uf:
(sinα)^2+(cosα)^2=1 @{?E;sV
Y|ick+ N
1+(tanα)^2=(secα)^2 4D,KXE2=@#
H+q'[- +
1+(cotα)^2=(cscα)^2 ey)',T/
^jb0AE
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 &RG\\WK]U
a=KS>x
对于任意非直角三角形,总有 >eL/i
^=X
%vo
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ~LB*AJqs\
'4jy~b20q-
证: :W|XyW~_
17hp' &&V
A+B=π-C quS`z,\
}zb 2:c;
tan(A+B)=tan(π-C) A!`3|ZnIe
Sz_xE>^"
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) {#D<1N~
ir!E:,'U
整理可得 _)^z&0
7L+Z}o ;
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC }=Rn (}
I:3K?cL
得证 newmYSo
1v T!'>Q2>
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 k6=Q%h
-v&lQ\1
1
其他非重点三角函数 N=L>3chr
nGXiUd;
0
csc(a) = 1/sin(a) EedB2lbC
bm/kL2D
sec(a) = 1/cos(a) O3?A6n
8,
fP/f#^
U q[GE0Q.
V[EY0zIB
双曲函数 =E!/55w\
]=h.=o
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 JZM*gW'
%
P;3uPp
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 9^I
aDXEM8'nE
tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) E@'r`4~
B7}~F
公式一: L^)ZS
Q[rn=a4
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等: F#Ovc }dkQ
]&ZdD*p
sin(2kπ+α)= sinα ~te@p m)
~()2{Ob-4
cos(2kπ+α)= cosα 7x4l.k'c
7ETU\8X
tan(kπ+α)= tanα :IM
%R,
D;xn
cot(kπ+α)= cotα =X'>>[$d
D<?<7?>
公式二: }@w'|ev
{ZW_?~{:\\
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系: QG4V4Z,L
5_Gh%
sin(π+α)= -sinα i}Z5Y8F3
eZ{ s_jEm
cos(π+α)= -cosα ;?Tphpc{g
Zaho(#P
tan(π+α)= tanα Ge[ pl
{)36NG
cot(π+α)= cotα +6ihGsz\V
TAS)=(f&i
公式三: PT,c)}
WpVD`
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系: 9rj5_CTb
!Dng&cR"
sin(-α)= -sinα 8op%RGh
9"wlv.]&h
cos(-α)= cosα ,jnFXAUu
:^$cq+
tan(-α)= -tanα i[ncD0HKN
Yc=HI
cot(-α)= -cotα N/Ut7}b#:
#F74%
公式四: 8#BuMRZ8Jy
K*1e9 v9
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系: -]ps/bGu
>fMa(Ho@
sin(π-α)= sinα 3+bh<.V
8g,._)g
cos(π-α)= -cosα
=i^r+
~MQGddUl9@
tan(π-α)= -tanα R4XX-"uo.
I,T#mnbvC
cot(π-α)= -cotα nk^"*{}r
`dbBFZ
公式五: ELzhx
A&i`S,QVXE
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系: ^2{N6s|[Q
{3+7nX9x
sin(2π-α)= -sinα d
`CooG&
3cAC}yyo
cos(2π-α)= cosα R:7(p5Bl
CUhN)RFq
tan(2π-α)= -tanα Bn
|(q:?Fi
NEI&
cot(2π-α)= -cotα G}*+N
JT
L[1{de@e5_
公式六: A]5Iv_yz
ToCQ,gVt,
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系: ,c.7`t
/{[M/%$
sin(π/2+α)= cosα ) <@,J'
pS}$&{
cos(π/2+α)= -sinα {kg<%U*&f
QP%qHK*>-y
tan(π/2+α)= -cotα w.Y^3];z
9t|~0D#
cot(π/2+α)= -tanα [.|4\*3
wp0FJ?Uy
sin(π/2-α)= cosα (r*FeT;
3nWh&u{
cos(π/2-α)= sinα
v]j
eLwR/kA
tan(π/2-α)= cotα !_o8:
J
ozqvD89ya
cot(π/2-α)= tanα >n+s00uM
/0*VQj
sin(3π/2+α)= -cosα yH0=cYV
T6AS=+s
cos(3π/2+α)= sinα UiSDcv
7@/Hz p;Z
tan(3π/2+α)= -cotα 0b3fJ
$o&1
?6.JwB11kY
cot(3π/2+α)= -tanα Ti de=
A5MqFseA
sin(3π/2-α)= -cosα P,jB@bc_L
%e=FcUq|
cos(3π/2-α)= -sinα IV8N]z;I[
(o+fwrNe
tan(3π/2-α)= cotα = ~LWfK~QU
?iSg
1(
cot(3π/2-α)= tanα 8Jz@g!Cx
&W4!& ]o~
(以上k∈Z) }B8c Pw
F@X4%
2T
这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 w7>
6R||Qm
J]^)?5Kt
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = R@pT
]zR
,Wg&bP
√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } K?2b4H*
XG03O\
√表示根号,包括{……}中的内容
迷~一切都是迷~你自己去寻找解迷的钥匙,而这真正的钥匙就是你
|
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