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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ^q _|9aEP  
9UA6JbU  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. B2bV=S[,(  
W&!f Tq  
　　1、三角函数本质： P#I)|NplZ  
O1_aD|A?@  
　　三角函数的本质来源于定义 n s2\  
 cS?t  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 &JSc Eimq  
D#ie?id  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 +\fx/]Xw(  
B]v9 GAQ"  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Zx3v{F,  
-PMGcu   
　　推导： t5 :hu@X}  
\NSM-_  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 s 29D7{  
S*+B') E{  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Hq'wMr5  
!Y,hDv!  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) k5;^ 1  
^K!rXX  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 VX? \  
^ >]+Jv  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） )RFUbY<4  
WN$b[-2  
　　[1] MJ#$D/"Pe  
>ZD YHlO  
　　两角和公式 g *B.>hg  
 >y:t)U}  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB (*4!+St"c  
b(>W S  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  @ Ra>My0  
>"~BvJO  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB _uN}L"(  
7Xc]V  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB *jhpXI8Q  
HN$_!D  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) Q~bHcD  
N?>OEMr)  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 1[OI=UA  
iFB!6,X$#q  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  d8}5- q  
{f,vP#(]  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) <gmsF#  
w+O F4i3  
倍角公式 Ct3:GH  
&}n^KO  
　　Sin2A=2SinA•CosA jj?-YrQU  
a0:UGaF  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 kN[dt^`  
^6}bq4F'L  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） *'-9*qUg  
ET9n CG  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） <Lm/L$skCQ  
o1n/[u 5  
三倍角公式 I__^P6*D  
}QajrA|JX  
　　 Vx*3bz>  
/nd&D_T-A  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) =mtAhzL[2  
*jO.uR^  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) ]~D3SF0  
(/ Zy  /  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Oh!'MZ|[  
yhbZCO.?  
三倍角公式推导 ")bM]X*Z  
t7jE%#5f;  
　　sin3a g, |\Fvf  
d5 {Dp#Y0  
　　=sin(2a+a) Ag`>2}v<>  
a3qg_YC  
　　=sin2acosa+cos2asina 5_fchOS  
>5ZHJ  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina X*s<=,k!8  
4%K%!&1.4  
　　=3sina-4sin³a qr.8j4`  
HJFZZ:$?V  
　　cos3a eg{qT[)  
LP@{% !6O:  
　　=cos(2a+a) vb(ww<KEL^  
pbd^=:1  
　　=cos2acosa-sin2asina 0ePB$8   
}9QwId|B  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa B\z] tF  
[*}k. *Ld  
　　=4cos³a-3cosa /F1P'7l  
j;NBA+Ir?  
　　sin3a=3sina-4sin³a oe!e@v";Cj  
&STUVe4v_  
　　=4sina(3/4-sin²a) [3(nMbN  
;F vB'  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ; qZ 3^Q[  
qaw63  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) GWg04  
*wp<L>  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) t8TY0gdc  
0NaPP5<#  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] qN[G+!,k>,  
w)r{ne  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) XF_|4   
(|M"{j  
　　cos3a=4cos³a-3cosa lNli<8:le  
[xjGu??  
　　=4cosa(cos²a-3/4) >Fg8'q%  
U<fdL#V  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] hywvN[AM  
pK$Y3sgK*c  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) R/{'jo0d9  
I5]4P  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) oU&P9^Qlu  
7*b9y{N  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;5~-ug@dn  
L*YGyu%_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) D]`}GC{DH  
P9p]dM)C  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] K.2dYOv c  
>s\7pn?o  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 2K=m<89FY  
_d0biAX  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) yYgfIm  
[j"hrL&b  
　　上述两式相比可得 +ldm^n  
_._  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) Iv OJ y=  
h<02=b[  
半角公式 }o~T}_T  
;PU Q!P>  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ir;L^B M  
"7lzRkUrk  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. S0#$I0.  
PrvLXpLs  
和差化积 y^1U 6x  
i L=JCU  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] a* r ggS E  
@W 1l JF  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] <sT^mI. y  
/3KWbHIf  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] G,5`/sLnd  
y w b/  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] XSJ5<;73OB  
Ubg>iVcs{  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) R6Ta(+w,\O  
>~OUC8J  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) hW(b] 9  
FJN  
积化和差 (q5sE*F Q  
k &M"  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ;e%"3bT?  
lgO{>% C  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Yoy o|:X[  
UkYKKI  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] [1YtAu?q4c  
CwrI`S4\-  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] 8%;Xu4Hv  
ZSGPzK@g(4  
诱导公式 [ KI()7K  
v W* z  
　　sin(-α) = -sinα pwFxJE1X  
fhsGjKy{Fi  
　　cos(-α) = cosα @uJ4:jbv  
PUDdi@=  
　　sin(π/2-α) = cosα S-<z-g:K  
nx?>zwZr  
　　cos(π/2-α) = sinα 4|RK5Y?v|  
7N=3'mC0'  
　　sin(π/2+α) = cosα _1T+Y0  
^S%T2h   
　　cos(π/2+α) = -sinα _:zkqCZ  
H /?4jip  
　　sin(π-α) = sinα 8)K#ia:'J  
*;v* ]  
　　cos(π-α) = -cosα   ,*HBs  
M +6rHt!G  
　　sin(π+α) = -sinα ZgQ{4VT4  
gtP%@nCE  
　　cos(π+α) = -cosα FquKVne  
k}zCGqGdz  
　　tanA= sinA/cosA bfjRd0K  
SFQ:G+SB*  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα K#75M-{  
.;j2?a  
　　tan（π/2－α）＝cotα "I;s 3d  
!b"gLYk:j  
　　tan（π－α）＝－tanα 5f<%{MipZl  
cwa;"!,  
　　tan（π＋α）＝tanα 5=A{b=K}E  
R^2p  
万能公式 M98C\?T  
1 =Q@$JAN  
　　 R9IlKmXf  
"+Ri[{7 -^  
其它公式 ^3nMvf H  
& 40+d  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 AGE[9v=  
C?./e: =.  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 7sv,&cy  
\rY1:(`M  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 <,k^u^Qhr  
iI4 _kWc  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 a/z 's}z  
hPG=(86>  
　　对于任意非直角三角形,总有 Ii~]_+&.  
j\14iv8.~%  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC Jm T+/4^  
*6^N[wBh  
　　证: I'qz^  
_\kVqC'  
　　A+B=π-C i9gK `  
q';So&@   
　　tan(A+B)=tan(π-C) FCu6P-6,  
85wt\|K<  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) wE1,iDV{  
\%0B&T >  
　　整理可得 8ds^2jg  
'^9  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC @4dB @!7D  
)EwRr8D $  
　　得证 +QS?Qx'1L  
}H"z1NK  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 \i#C {  
E< cZt6`  
其他非重点三角函数 A*W 0  
_L F3  
　　csc(a) = 1/sin(a) 96MbN W  
\6 T6bj  
　　sec(a) = 1/cos(a) 8[&u$(  
~"7{!S*++  
　　 ;i# R/HLg  
U6 8 ;$  
双曲函数 CSD.B9V_Z  
d}33J[-a0.  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 4c9zC  
^X\>62U6e  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 MVYo2ugp  
@d9\N;  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) UF>6I>   
S8%,4K}  
　　公式一： ZOz:m  
)=E8`61  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ,MGK{Vn  
T!xBQ3b )  
　　sin（2kπ＋α）= sinα XC-o);RHTy  
O>`B=KB;E  
　　cos（2kπ＋α）= cosα qv:DR!6A;  
7\pcX;W{  
　　tan（kπ＋α）= tanα rxHwDa Ek  
@Y ;d>f"%  
　　cot（kπ＋α）= cotα GGF Z \#  
qmmpUqt  
　　公式二： 38+>#~  
/~!B[c  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： +99q.h_  
I.%dPHzU,  
　　sin（π＋α）= -sinα BT/d%i??h@  
1MMJOwp  
　　cos（π＋α）= -cosα __*{V)[  
]n KqZ8-  
　　tan（π＋α）= tanα R1~1 _F  
;mt-!LD  
　　cot（π＋α）= cotα m,r:~]MR)  
j]gIfq  
　　公式三： X'&(W;!K  
~`kDfZC  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： <y~fN*+M'  
^ 2sHfdI  
　　sin（-α）= -sinα Br~_#N% U  
J&'w#4sU  
　　cos（-α）= cosα 2|>wr85Q  
`3`f%&R Y  
　　tan（-α）= -tanα */l},%g3u  
7F7;=  
　　cot（-α）= -cotα ~;)Aw Z"  
h,?SZQR1  
　　公式四： Q$J QjE  
C QH~y2  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： @xmZjfU  
IVM"4\6  
　　sin（π-α）= sinα k%3UvNE7g  
6z'# u/*T  
　　cos（π-α）= -cosα *Z,DWUZ-[  
!t+^% V  
　　tan（π-α）= -tanα 3jLGdm2X  
/Nj~b1 Z9>  
　　cot（π-α）= -cotα %Txw^Zn  
D/eaz.,'k  
　　公式五： w7){F1  
Q'P!;\0  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： *`qsy#^Q  
2a{PLYQ  
　　sin（2π-α）= -sinα v?a~WPgqY  
q|`0$}Vs  
　　cos（2π-α）= cosα R|;KaJtj  
i]s~}%Wq  
　　tan（2π-α）= -tanα !pY.,- -  
))8]9oql  
　　cot（2π-α）= -cotα "&IbEC0X<  
qbGEDs4  
　　公式六： '"ye[s.^>q  
+L[-n0/<  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： !M6KfBNj  
Mq!J5zMXw  
　　sin（π/2+α）= cosα ,gR<W4 I  
V4&df[`i)  
　　cos（π/2+α）= -sinα +Dx4Li,R)  
@-o&JVzAl  
　　tan（π/2+α）= -cotα tCO! "H>  
[F[4 ge+J  
　　cot（π/2+α）= -tanα EeLc~o2t~  
0Uvyy^J@{Y  
　　sin（π/2-α）= cosα Q >KcTgc  
'O[sbh/_;  
　　cos（π/2-α）= sinα ~5s3v% ,3  
D<ZeNsN-  
　　tan（π/2-α）= cotα XQFOR ,Q  
FeujIp##)~  
　　cot（π/2-α）= tanα j-\Nv0 s\  
)cd2 ';X.5  
　　sin（3π/2+α）= -cosα U^73L+fXy  
2 UkG   
　　cos（3π/2+α）= sinα 6j:, ;1i,  
uT$zbg  
　　tan（3π/2+α）= -cotα awW~m}S  
i(K!4\*|  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 7($UPVw  
vRSQ19  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .&\t {  
L<)RG 5  
　　cos（3π/2-α）= -sinα {R*? 5.  
L n u-,  
　　tan（3π/2-α）= cotα Aruy #BA  
'N?~Yv  
　　cot（3π/2-α）= tanα 8$]j'y,  
ezkvcU;i  
　　(以上k∈Z) sz?`B|l#  
/[Y5T+dH:  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 >80A;},  
=aF }\t  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = !JFm0u,e  
*cb5kltMQ  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } VP1Nl nF  
S@LzOd  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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