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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 j/Yq:P El  
[kDy^  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. D 7"e"  
osuZl^o  
　　1、三角函数本质： ]oW[cc  
z:sd(zE]/  
　　三角函数的本质来源于定义 )cN)ZFTJ&  
K|S?Hsg  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 R (iM+Gz\  
Snf.r$ATQ  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 FEnyinI  
x=VWC#`  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： '!^9n9W<  
\nH?]M#"  
　　推导： g ;i1cIy  
Rye'Ga  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 gDtz-wv!)  
"SGfr9],  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Y>@pW.J/  
lC n F*  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) kjS%])?y.  
FtK=w( Z  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 E[%#81z  
QFV*{l/4d  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） Uv'p LkE67  
9 7f7aLU  
　　[1] \?IP 7#K  
T[]KLAZ+}  
　　两角和公式 [H*2H_ I>  
J.DS1Q >  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 5I"G$  
EK z-s  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  q[EP67--  
&lDr g>4  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB  \'N2Fj  
#iqqwUXzn  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB L{Jbog/ -  
#dh\9L1y  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) $SHwg`7Rc  
{bg_< +  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) \pdA.nJ+;Q  
b~,:*p`L^  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  jW+F$Yl0  
J}^"11'/ b  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 1 *X|<"  
^W Ur) _  
倍角公式 [Nv@H+7[n,  
-(iJPmV  
　　Sin2A=2SinA•CosA <?VNj~3`  
PTlJjk5dR  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 HD)Y$vw  
|3'h lhz  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） u:p-S5HP  
j1$Hj1E  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） bUEo,48~@  
(2?-qQE>  
三倍角公式 )`TUH  
5V1(HEs.  
　　 _;ez#)k#  
8 l,= j]  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) & RjW~ _Dd  
HxaP|1`E;  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 0x|eu  
?|oQs^Y  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) k, Hy;oHd  
{K*t41b4  
三倍角公式推导 gY'0[A`:k  
-PwV57<  
　　sin3a #zF!P1  
v:Z]fi4I  
　　=sin(2a+a) ))G \k  
hhD.0ue: i  
　　=sin2acosa+cos2asina 3dp/{&He  
=\<&'5XRy  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina %h)wHmcn  
n,<V<LIC<]  
　　=3sina-4sin³a t}]s]aS&  
z]q.K'mG  
　　cos3a ?|Qj mk;HW  
L('S7(_  
　　=cos(2a+a) v<k}/CXi  
Vg8Q*+].  
　　=cos2acosa-sin2asina "bEo:&wZ  
W\Q51n' o  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa ^-2 #y1  
G-[^SpEL?  
　　=4cos³a-3cosa oWa[unqo  
~7<<B4J8p  
　　sin3a=3sina-4sin³a |WImtY  
;3q4h-2?"'  
　　=4sina(3/4-sin²a) C4AD.F :  
r|6(Y  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] U5`Gzzg  
qAz C*  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) XJ8S  
'5g9)7~y  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (gS>&G  
c3s$.8G  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] '7!x5N  
LZd@du)6<  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ]J2SSpT(  
kE|X+R'  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ta&" I0  
a@2V""}  
　　=4cosa(cos²a-3/4) L J~F;-4+P  
u)3Mm }S  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] \{$}-o  
9:C 3>$  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) U0 mb  
7U%M@Ll6Y  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) 8E^Q\lJj  
?+stq;)MO  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} +=68\#US  
#P+=  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =};]{J$  
-e+1"fe5  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 2`X%7mu_0  
IA?or*Zah  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] 8GvS%$lo\G  
Q#)@X  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) G@I~5?  
5}9>%l5P  
　　上述两式相比可得 :d]lG1qN  
B$ <+;E;  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) &P&X1nEI_Q  
R-<X^  
半角公式 ;IX9P^%y#  
vz4(lfs  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); %l!MH1[  
w|,]~.  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. c l'k }&S  
@Dbr)x<"*  
和差化积 RF"^D~ .k  
Exr_~nyI  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] P-G^!DY  
3IC$C N5  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] !u}(<,qO  
;Ej0Uci  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +h,'YZ Ux  
1 F/Rt  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 9N9~A-G  
'!N+>yi!M  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ;{3RJn$;*  
QGs-4K  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) nL=Lrb&ez  
0b1M'A  
积化和差 /?g)rg]7'  
0~K=~7<  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] ?$k VX5&F  
5<j-Hj"xsf  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] BjRg5 JS  
LR Sf82  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] 0qC+zH)o=  
5JmGZP1  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] <HqxRa  
zp^-gw  
诱导公式 eM{DgW /  
w|fK_}G5+N  
　　sin(-α) = -sinα {zCT?x-z  
=(|[p y  
　　cos(-α) = cosα cN4#5^$[[  
5o/9j636"Q  
　　sin(π/2-α) = cosα YROz|A)2  
}&"P-3LgZ<  
　　cos(π/2-α) = sinα Ao8hDz/  
}wHdyMUU1  
　　sin(π/2+α) = cosα :O*$%s X;  
[<tYHE  
　　cos(π/2+α) = -sinα EI[8ku  
K.#0)ofl<  
　　sin(π-α) = sinα D!'`:d$9A  
c A}x[  
　　cos(π-α) = -cosα BeXb/'[^ /  
F"% ]1QmT  
　　sin(π+α) = -sinα w4PW9 <!c  
u1+_;=B  
　　cos(π+α) = -cosα ]zGTL(qo  
=X2WTouDu  
　　tanA= sinA/cosA 4.=;m&^O  
Nv O!='hA  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα z{iA[#{6  
}xWf@Umw  
　　tan（π/2－α）＝cotα nw *~DVZG  
S`A synI  
　　tan（π－α）＝－tanα nngZ{1p*  
@%<6j^$  
　　tan（π＋α）＝tanα -)V"nkw~  
&#{tB<$  
万能公式 q"T|C?1  
@_9h)r  
　　 {u0G!0T  
+ .73hXt0  
其它公式 =_ 8Q2N  
x r>vL3  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 _Q F[[l  
%]b *X7H  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 v>D A*X  
p]cO@  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 g>?rH_NY  
BtZ u(o  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 w mb&9T2  
3*;!kF',b  
　　对于任意非直角三角形,总有 _ '9e]dW  
O,4M\J^T~[  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC .Ma_Xe@  
?14V bm  
　　证: oYtq}^=yU?  
kj !wLmT  
　　A+B=π-C : )~ q;do  
TjRtE j  
　　tan(A+B)=tan(π-C) (!(B`9/  
-*|u.  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) FQ7G:>{{  
gqV4%Gj#  
　　整理可得 d{ [v[>H  
`AP-wg  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC $a\b-a  
Fi[lq)#.s|  
　　得证 : XL`U y  
UW(<gLed!  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ^4vvY"D 0  
X"+d/r  
其他非重点三角函数 )g\NFx&M  
F3UMMG6   
　　csc(a) = 1/sin(a) 4KnAj1,K\  
:#D}qyFVzH  
　　sec(a) = 1/cos(a) iKOt ; 3=  
|^D%MX#O  
　　 m)f!L^X.=  
V>bh=_ XM  
双曲函数 m0~`c  
%uU7W Wn  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 .U"7\fh  
R*YBr]]U  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ,S,tVyfoZ  
<9o|P1?jY  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  N<4n5r  
kHA_l7fG  
　　公式一： 5 isy-'JO  
pZ[\)nsQ8  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 0{H0* [  
L-?="* q:  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Edj{*4  
Yv#^3!x9`  
　　cos（2kπ＋α）= cosα pS31I.d  
n]3BuG%r  
　　tan（kπ＋α）= tanα |*a:qz;  
e} N [M  
　　cot（kπ＋α）= cotα QK f <%>  
ze{ x7B:  
　　公式二： 3RRKs;u  
\/6y_qOU  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： -3u9 r  
h;hChuT^ `  
　　sin（π＋α）= -sinα > wl>KO  
_|XN#( [  
　　cos（π＋α）= -cosα ^\E zr?+O  
%-Cn0#}"`  
　　tan（π＋α）= tanα 3*Hc}<,7)  
1QUKot  
　　cot（π＋α）= cotα ryQj4vL2  
0K I>,tw  
　　公式三： ]'L:8Kb[  
k!w4$RK;  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 8z=%b7cu`  
;y/d-2A7  
　　sin（-α）= -sinα %iJv-,I  
ZV].p\Sum  
　　cos（-α）= cosα +Q !_<ss  
4MD{J?8I?4  
　　tan（-α）= -tanα ^+fE_Rw  
#\0us @u  
　　cot（-α）= -cotα ?2(ro[  
<g--:a RN  
　　公式四： 0X.K`8mA  
GgBD O  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Pg c }8z  
}gV6E.  
　　sin（π-α）= sinα K :eN Q*C  
c}boH4A9N  
　　cos（π-α）= -cosα s UFP(   
6M$8[%n78r  
　　tan（π-α）= -tanα 7P -6hmB  
XQsBf'/  
　　cot（π-α）= -cotα _ W2)53A:  
!"xK?|JVo  
　　公式五： T mk)9so,  
*#I;voX  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： }aKw8rp0  
t}ct/1  
　　sin（2π-α）= -sinα :Ng5k Wd  
$\|X-v G  
　　cos（2π-α）= cosα \{pbaqk2+#  
p0TSM+Z?  
　　tan（2π-α）= -tanα AP#Ll }B/s  
/CV$'fD  
　　cot（2π-α）= -cotα <v]8~8K!{  
M(l<@d&}  
　　公式六： Cr|6<!g  
TqvB2  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： [?qbQxF JO  
21R&bC  
　　sin（π/2+α）= cosα ,n/]*%_Q{  
1!C6*q c%  
　　cos（π/2+α）= -sinα '# f,  
{q? _Y _}  
　　tan（π/2+α）= -cotα $ <@z9o_  
 *q]E(&  
　　cot（π/2+α）= -tanα *"YH}As  
o!Hs,MV  
　　sin（π/2-α）= cosα TDFIYjb  
vh)cr5w7  
　　cos（π/2-α）= sinα sG(V<E  
Ul*l+>C  
　　tan（π/2-α）= cotα %2$^URD  
$YDK  
　　cot（π/2-α）= tanα 4|Lf~)+P6x  
PlOX!"]cjE  
　　sin（3π/2+α）= -cosα iDdv:\M G  
eDo2* "r  
　　cos（3π/2+α）= sinα DTh}7x  
iN>5S]!  
　　tan（3π/2+α）= -cotα <y&2~\}  
\A A{_Ee  
　　cot（3π/2+α）= -tanα wj$z/A5  
8:kjG>QZ  
　　sin（3π/2-α）= -cosα pW,,1NB  
zQ3]ANu  
　　cos（3π/2-α）= -sinα D+Dynhn5Tb  
Nrj'wl   
　　tan（3π/2-α）= cotα ?CMrF2;C  
Ouq]Wu\mVc  
　　cot（3π/2-α）= tanα +/ (<7l K  
lc8r|*6E  
　　(以上k∈Z) Bt`?/(  
[MV)u d44_  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 qW#:7 v4c  
P:P:hP3  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = K:]0IX"  
X ;!1~:  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } Cd]D''5O  
^mmK4P=o'  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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