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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 'gl&Qb~s  
o-fOzsi  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. ZGbPm6{%  
/><J6,EE  
　　1、三角函数本质： \lC@C&:  
ub]2\c  
　　三角函数的本质来源于定义 9' u88\"  
xhVw> tR  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 1Bkbl*-e  
HUN;y4L  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 B3^|*At  
v>,)u<f  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ^Ne9 gBVR  
,x 0P<  
　　推导： sDgov  
M]O#F:+J  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ;5sT #a~m<  
b)]bgv  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) TTSN o3  
~q6*P0  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) e|363f}A  
wutVfC  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 #%~h4ps:o  
]=*C<QP  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） mIf rPoK 5  
Y]WKqL^ ]  
　　[1] 1q? G8"[P  
Fn@z,F*|  
　　两角和公式 ~jZ5aeo9`  
9#L.OPT~  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB |&|~l R  
U7`-T=`%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  [\xFA2Il%  
efnW=;0{3  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB #Z~PA(tC  
JA{X:.g  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB RjV4 n}9  
JP:cK;Lq:7  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) kE` `$NR  
=_7O,<]Mv  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) TA<5X4 8;  
zK\Rw`   
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  mA.o S  
Sw{"4 VKf=  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) dG.f  
nq]oImvmDD  
倍角公式 JNGi0EO0  
Bg]<Y]mBx  
　　Sin2A=2SinA•CosA rsfqG @c  
} IgD!-+  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 $-f5{ 0;  
S&VWuN  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） PQ=bIO%y]  
+o|4h(-  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） _Y)L38e  
5Xzr${  
三倍角公式 .9vDyzJ  
Z E}v b3  
　　 >;Z=GNDW  
DH\=pL 0  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) j}CG|6 p  
Hwt%8Xb=y  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) > 4<]rRs  
D*L Q,B.  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 2@^1{"G^g~  
i>v^h`  o  
三倍角公式推导 <OS"`Z  
-m\X%eui;  
　　sin3a dLo0,J q  
Xo'S$  
　　=sin(2a+a) ~)1#+6\$k  
qv*]=`AaE2  
　　=sin2acosa+cos2asina M3U],7=!"  
d&O 'DLR  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina x-]eg]Urh  
^t pe<@  
　　=3sina-4sin³a H.w$1M  
}n=uEife  
　　cos3a |(chzj0  
OsFlY~M  
　　=cos(2a+a) -_ K!gl  
,+|un)|=QM  
　　=cos2acosa-sin2asina @vpYeqwqH  
. Sfv   
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa >%/}5d$O/  
#r;n'|  
　　=4cos³a-3cosa /; 8=<  
x~kz/S-y'  
　　sin3a=3sina-4sin³a Ny'VXv  
WQ.rz0qICy  
　　=4sina(3/4-sin²a) (t5^[!+  
{WlzlbK%19  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] CGQZr8b  
]%, i8ibx  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) `8l({  
[]M}Z#~?  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) \;s+e&!  
~)E `@c  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] <2nd^  
5hYr-  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) n2^r<j,Z  
*k)l/ 9A  
　　cos3a=4cos³a-3cosa 54|{AMQY  
Y|BuOS2b  
　　=4cosa(cos²a-3/4) \: k.Wk5,  
@>CH)6+  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Uq{FVhI \  
D 6>(4+v  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) A], e4?=  
Vbxc4S  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) {m\,0]8-  
!li AP-1<  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} zdlRldl  
3{nn*W  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) M,o`$O  
y?H>%|  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] 6T"yA2-uu  
Q.x T[S24  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] xzc"32  
0 i`%Z5}GO  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) lf0U^,"  
u<A#BH  
　　上述两式相比可得 *o7wC5)Eq  
`bR,v>w  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) vaH@(cX  
2WD6ijKW  
半角公式 #Aq +p9_-  
`'z=w  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); MaP'Nk  
=pp^++/]v  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. Ip]|/yz"  
'g-E^kI|B?  
和差化积 @+ 1$oI}k  
"bk?_=Uq  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 5,Y gb=b)  
yZUNFz-'  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] }=#i|Rg  
2 B[z6C>s  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +`iSNk@9p  
w62,:hV*4>  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] HG(O24DbE4  
uO"X%]./#  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) F`{1iXY  
cM}U}5)Z5  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 8Uci<v|:o  
.)'tdjo}  
积化和差 wQDERD  
VI_A'R|  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] =.;eCL+  
 p1*$<V'  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] L;6eLN3f  
v7CQ_  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] SaIRw|Lvu  
mxLq UR{m  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] xAHn%  
dAJD$Zy2  
诱导公式 .}?SXM?  
8jQC%:D25  
　　sin(-α) = -sinα Ze3V E ]T  
Q;0d(H[  
　　cos(-α) = cosα sr T[g  
o bm_E*x  
　　sin(π/2-α) = cosα |`X0YJ  
$q]tB^)O  
　　cos(π/2-α) = sinα d~- Cc|;B  
G2[%p(JS.  
　　sin(π/2+α) = cosα tPVUsDhC  
tQBZ[IFr5U  
　　cos(π/2+α) = -sinα l?SN0O$lm  
z='K6g  
　　sin(π-α) = sinα _~_KUst-  
s}PP+VJ  
　　cos(π-α) = -cosα "OB|@v  
=}M2G<kIej  
　　sin(π+α) = -sinα ?/C ^ Sd  
WlsNhOid  
　　cos(π+α) = -cosα &9 hvVCn  
'AS2J:x(i*  
　　tanA= sinA/cosA  1+H;#<  
gb_~Jm-#L>  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα sa_\ *p\  
f!1!m  
　　tan（π/2－α）＝cotα nMZdr6iT  
`PD763.T|  
　　tan（π－α）＝－tanα XM8k]E/O  
^jTb4?A}  
　　tan（π＋α）＝tanα @lHv) {*E  
76u>YDO  
万能公式 Bo\U/ b3  
qxE@WU*  
　　 T.D5SD  
N (!M0]  
其它公式 ,Xgb{K! 9z  
[T46;H?4~Q  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 @k/wE?T#y  
qa?ncGt29[  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 lv-c"p,  
_48^-M_%5  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 $C= |   
;mnfNIIp{  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 f%Zd4 l>#  
L[mB^[z#n  
　　对于任意非直角三角形,总有 /Bl <s\c #  
U2 '*GDT.M  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC '&wqfl<s  
 An9(F-  
　　证: *ET\ZH=N  
T 9 u.O6  
　　A+B=π-C \: A]@  
sE\Prdi  
　　tan(A+B)=tan(π-C) M=suvgP  
a"HxamPM  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) .#X0L\k#}2  
4V!1 Rz;  
　　整理可得 ;Z_HIZ~&  
YNMvbJo{/  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC \%d,\?V  
wC\HIT8  
　　得证 #SdzyU ;  
N Z|='!l@  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 n+pA,Y   
Hh?#s.mQ  
其他非重点三角函数 1|3/To /6  
owQ0Ocy~|w  
　　csc(a) = 1/sin(a) xb1lJHr Z  
xVSq|=R  
　　sec(a) = 1/cos(a) ]nDWt7  
{'kWlC+o!\  
　　 `aw~OHk  
7+PVI${Y  
双曲函数 S!08IaJs  
1 ;o429H  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Rs1AMT<Y  
[ RTh3  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 N&o\==5i  
y?E"7T  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) 3$Om>WUN  
h;.{\bG  
　　公式一： f._ >56=%  
UKrRl'  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 2jZNDJMB  
8pu)Rv  
　　sin（2kπ＋α）= sinα wj*K+R m  
`#gOj&u X  
　　cos（2kπ＋α）= cosα c3o=;Z  
lN <c-  
　　tan（kπ＋α）= tanα 8 |u5  
Q4bGs  
　　cot（kπ＋α）= cotα k4oAf0x*  
CkCG 8+|p  
　　公式二： j/AZtse.  
EegjH.j4  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Z I7<v"  
kx8JveujF  
　　sin（π＋α）= -sinα e \# MTpo?  
`Z?"5eu  
　　cos（π＋α）= -cosα 5)EJ hs9E  
yDnCCEq  
　　tan（π＋α）= tanα whPr_s[*  
N@<GU=j~  
　　cot（π＋α）= cotα t#7bJC0s  
ri|s<fN  
　　公式三： x=n)~eFw  
w#Q_ {ig  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： qqn$bu{WR  
nknM%|2Wd3  
　　sin（-α）= -sinα 0o16/iOV\  
kWUko_=>L  
　　cos（-α）= cosα |40K5,<A   
1]Jckd.+Q  
　　tan（-α）= -tanα .^T\?  
dr+le=_<d  
　　cot（-α）= -cotα G . KXggzZ  
 Y_FF6^ (  
　　公式四： g`VoFR$  
&W(2 >  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： \OSAZSZ  
VUBF/C{u  
　　sin（π-α）= sinα :,Md87F=-  
q: ]: Mgs  
　　cos（π-α）= -cosα t]z8&C;  
,dT}lT  
　　tan（π-α）= -tanα =*{=6+(   
/Fra]>o13s  
　　cot（π-α）= -cotα YYC.S8  
^OCB(W7  
　　公式五： b4MNnn  
j<Q/kb9]O  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： GmD\) Q  
)HnRE  
　　sin（2π-α）= -sinα E"0Z|*`&  
Pr?2nG,D  
　　cos（2π-α）= cosα <>X-\|mwmv  
uJ%85;  
　　tan（2π-α）= -tanα sLdmb  
!.CjaNZ,  
　　cot（2π-α）= -cotα G#XbeU7  
h28Ev<=JV  
　　公式六： y;d<#  
,x/_JU2  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： @;nlTh{!  
@A^{ bW  
　　sin（π/2+α）= cosα 9Py;Q.wI  
; HEQk%G  
　　cos（π/2+α）= -sinα *9 jUZ3_  
P5N9$  
　　tan（π/2+α）= -cotα  O5;(ixZ  
H#&NBEt  
　　cot（π/2+α）= -tanα W(9+W  
'`)t'l/QG  
　　sin（π/2-α）= cosα }L]HXGVU  
jR%}>G  
　　cos（π/2-α）= sinα [[s,iwp]gi  
:NU-'&>s#  
　　tan（π/2-α）= cotα 6.5S(w?~  
f$uS]aL  
　　cot（π/2-α）= tanα @"l{A6{a  
~&U$nH$[  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 1Jz=92=g  
kG0So7GK_?  
　　cos（3π/2+α）= sinα Wr9O\K  
U)tCr{M  
　　tan（3π/2+α）= -cotα qmTDV7,  
qZn6%zO  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 6m}K~:\z  
/[p!T0  
　　sin（3π/2-α）= -cosα _<R)p}0iA  
qj;^&  
　　cos（3π/2-α）= -sinα jz?Q@ Bc  
lv|r;8#  
　　tan（3π/2-α）= cotα N(HvYeSx%Y  
WL ,.3pEu  
　　cot（3π/2-α）= tanα XM<0"Qj40  
4'}*#UkvA2  
　　(以上k∈Z) \7cbb2F#.  
E0"2B[A  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 `C=%Ll}  
0eslYSYmk  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ?`iVgj=K\O  
 kAU#CpB  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } nFHk_)  
ot+YC%1^  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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